Eğim Hesaplama
İki nokta girin ve Hesapla'ya basın.
İki nokta girin ve Hesapla'ya basın.
Formül Nasıl Çalışır?
Eğim, bir doğru hakkında tek bir soruyu yanıtlayan tek bir sayıdır: yana doğru attığınız her adımda doğru ne kadar yükseliyor? İki noktayı (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) diye yazın, dikey değişimi üste, yatay değişimi alta koyun; elde ettiğiniz kesir eğimdir ve neredeyse her zaman m harfiyle gösterilir. Derslerde bu, dikey değişimin yatay değişime oranı diye geçer. Bu tanımı aklınızda tutmak işe yarar, çünkü size bölme işleminden önce neyi ölçmeniz gerektiğini söyler. Bu hesaplayıcı ister iki nokta ister bir nokta ve bildiğiniz bir eğim alır; ardından eğimi, eğim açısını, yüzde karşılığını, doğrunun her iki ekseni kestiği yerleri, iki nokta arasındaki kuş uçuşu uzaklığı ve aynı doğrunun üç farklı yazılışını verir.
Açı: m = tan(a), yani a = arctan(m), [0°, 180°) aralığında
Yüzde: yüzde = m × 100
y-kesişimi: b = y₁ − m × x₁
x-kesişimi: x = −b / m
Uzaklık: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Örnek: (−3, 4) ve (5, −2) → m = −0,75; b = 1,75; d = 10
Tek sayının içindeki iki bilgi
Eğim size aynı anda hem yön hem diklik söyler. İşaret yönü verir: pozitif eğim soldan sağa yükselir, negatif eğim alçalır, sıfır eğim ise hiç yükselmeyen dümdüz bir doğrudur. Sayının büyüklüğü ise dikliği verir ve birkaç dönüm noktasını ezberlemek sezgiyi güçlendirir. Eğimi 1 olan doğru her birim yatayda bir birim yükselir; bu tam 45 derecedir. Eğimi 0,5 olan doğru bunun yarısı kadar diktir ve yaklaşık 26,57 derecede durur. Eğimi 5 olan doğru ise yaklaşık 78,69 derece ile oldukça diktir. Sayı büyüdükçe açının yavaşladığına dikkat edin: eğim 5'ten 50'ye çıkarken açı yalnızca 78,69 dereceden yaklaşık 88,85 dereceye gider, çünkü doğrunun dikeye ulaşmak için yeri kalmamıştır.
Yol levhasındaki yüzde ile eğim
Matematik dersinin dışında aynı fikir başka isimlerle dolaşır. Yokuş levhalarındaki yüzde, eğimin 100 ile çarpılmış halinden başka bir şey değildir. Yatayda 100 metrede 6 metre yükselen bir yolun eğimi 0,06'dır ve levhada yüzde 6 yazar. Çatılarda diklik çoğu zaman yükselmenin sabit bir yatay mesafeye oranı olarak anlatılır; 12 birim yatayda 4 birim yükselen bir çatının eğimi 4 bölü 12, yani yaklaşık 0,333 olur ve açısı 18,43 dereceye denk gelir. Merdivenlerde de aynı mantık iş görür: rıht yüksekliğinin basamak genişliğine oranı, o merdivenin eğimidir. Buradaki klasik yanılgı, yüzde 100'ün dik olduğunu sanmaktır. Yüzde 100 aslında 1 eğimdir ve 45 dereceye karşılık gelir; gerçek bir dik duvarın ise yüzdesi yoktur, çünkü eğimi tanımsızdır.
Dikey doğru: tanımsız da bir cevaptır
Bütün durumlar uslu uslu davranır, bir tek dikey doğru hariç. (3, 1) ve (3, 7) noktalarını alın. Dikey fark 6, yatay fark 0'dır; formül sizden 6'yı 0'a bölmenizi ister ve sıfıra bölmenin bir sonucu yoktur. Hesaplayıcı da bu yüzden sessizce kocaman bir sayı döndürmek yerine tanımsız yazar. Doğrunun kendisinde hiçbir gariplik yoktur: denklemi x = 3, açısı 90 derecedir. Sahip olmadığı şey y-kesişimidir, çünkü y eksenine paralel bir doğru onu hiç kesmez. Doğrunun kendisi y ekseniyse durum tersine döner ve üzerindeki her nokta kesişim sayılır. Bu araç o iki durumu birbirine karıştırmaz; yatay doğrular ile x ekseni için de aynı ayrımı yapar.
En sık yapılan hata: çıkarma sırası
Sınav kâğıtlarında eğim sorularının çoğu bölme işleminden değil, işaretten kaybedilir. Kural basittir: hangi noktayı birinci seçtiyseniz, hem payda hem paydada onu birinci kullanın. Payda y₂ eksi y₁, paydada x₁ eksi x₂ yazarsanız sonucun büyüklüğü doğru, işareti ters çıkar. Negatif koordinatlar işi daha da kaygan yapar: (−3, 4) noktasında x farkını hesaplarken 5 eksi −3 işlemi 8 verir, 2 değil. Kendinizi kontrol etmenin en hızlı yolu resme bakmaktır. İkinci nokta birincisinden aşağıdaysa eğim negatif çıkmak zorundadır; ekranda pozitif bir sayı görüyorsanız sıra karışmış demektir.
Aynı doğrunun üç yazılışı
Eğim-kesişim biçimi olan y = mx + b en çok ezberlenen halidir ve grafik çizmek için en kolayıdır: y ekseninde b noktasına bir nokta koyar, oradan eğim kadar sayarsınız. Nokta-eğim biçimi olan y − y₁ = m(x − x₁), soru size kesişim noktasını değil bir nokta ile dikliği verdiğinde işe yarar. Standart biçim olan Ax + By = C ilk bakışta en itici duranıdır ama yerini iki kez hak eder: diğerlerinin kesirli katsayı ürettiği yerde tam sayılarla çalışır ve üçü içinde dikey doğruyu yazabilen tek biçimdir. Bu araç standart biçimi yuvarlanmış bir ondalıktan geri kurmaz, doğrudan farklardan türetir; böylece tam sayı girdiler tam sayı katsayı verir, ortak bölene bölünür ve baştaki terim pozitif bırakılır.
Hesaplayıcıya güvenmeden önce bir örneği elle çözmek iyi bir alışkanlıktır, çünkü işlem kontrol edilecek kadar kısadır ve işaret hataları daha ilk adımda yakalanır. Üstte ve altta aynı sırayla çıkarın, eksileri koruyun, sonucu kafanızdaki resimle karşılaştırın.
Noktalarınızı yukarıya girin; doğrunun ham oranından üç standart yazılışına kadar bütün tanımı tek seferde ekrana gelsin.
İpuçları ve Öneriler
Birinci dediğiniz noktayı hem üstte hem altta birinci kullanın. Yalnız birini değiştirmek işareti ters çevirir.
0 koordinatı geçerli bir veridir. Alanı boş bırakırsanız araç sıfır varsaymaz, sizden doldurmanızı ister.
x değerleri eşitse doğru dikeydir. Eğimi tanımsızdır ama denklemi hâlâ vardır: x = sabit.
Yüzde 100 eğim uçurum değil, 1 eğimdir. Yüzdeyi ikiye katlamak açıyı ikiye katlamaz.
Sıkça Sorulan Sorular
İki noktadan eğim nasıl bulunur?
İki noktanın y değerlerini çıkarın, x değerlerini aynı sırayla çıkarın, sonra bölün. Örneğin (-3, 4) ve (5, -2) noktaları için y farkı -2 eksi 4, yani -6 olur; x farkı ise 5 eksi -3, yani 8 olur. Eğim -6 bölü 8, yani -0,75 çıkar. Hangi noktayı önce aldığınız sonucu değiştirmez, yeter ki hem payda hem paydada aynı sırayı koruyun. Sıra karışırsa işaret ters döner.
Dikey doğrunun eğimi neden tanımsız?
Dikey doğruda iki noktanın x değeri aynıdır, bu yüzden payda sıfır olur ve formül sizden sıfıra bölmenizi ister. Sıfıra bölmenin sonucu yoktur. Hesaplayıcı da bu yüzden devasa bir sayı uydurmak yerine açıkça tanımsız yazar. Doğrunun kendisinde bir sorun yoktur: denklemi x eşittir sabit biçiminde yazılır, örneğin x = 3, ve eğim açısı tam olarak 90 derecedir. Dikey doğrunun y-kesişimi de yoktur, çünkü y eksenine paraleldir ve onu hiçbir noktada kesmez. Buna karşılık iki nokta arasındaki uzaklık dikey doğruda da sorunsuz hesaplanır.
Eğimin negatif olması ne demek?
Doğrunun soldan sağa doğru alçaldığı anlamına gelir. Sağa doğru attığınız her adım y değerini düşürür. Eğimi -0,75 olan bir doğruda bir birim sağa gitmek sizi 0,75 birim aşağı indirir. Pozitif eğim yükselir, sıfır eğim ise hiç yükselmeyen yatay bir doğrudur. Sayı hangi yönde büyürse büyüsün, büyüdükçe doğru dikeye yaklaşır. İki doğruyu dikliğe göre karşılaştırırken işareti bir kenara bırakıp mutlak değerlere bakın: eğimi -3 olan doğru, eğimi 2 olan doğrudan daha diktir, yönü ters olsa bile.
Yüzde eğim ile eğim açısı aynı şey mi?
Hayır, ikisi aynı dikliği farklı dille anlatır. Yüzde eğim, eğimin 100 ile çarpılmış halidir: 0,06 eğim yüzde 6 demektir ve yatayda her 100 metrede 6 metre yükselmeyi anlatır. Eğim açısı ise derece cinsindendir ve eğim, açının tanjantına eşittir. En sık yapılan yanlış, yüzde 100'ü dik sanmaktır. Yüzde 100 eğim aslında 1 eğimdir ve 45 dereceye karşılık gelir. Yüzde ile derece arasında doğru orantı da yoktur: yüzdeyi ikiye katlamak açıyı ikiye katlamaz, çünkü aradaki bağ tanjant fonksiyonudur ve açı 90 dereceye yaklaştıkça yavaşlar.
y-kesişimi nasıl bulunuyor?
Eğimi bulduktan sonra elinizdeki noktalardan birini kullanırsınız: b değeri, y birinci eksi eğim çarpı x birinci işleminden çıkar. (-3, 4) noktası ve -0,75 eğim için hesap 4 eksi -0,75 çarpı -3, yani 4 eksi 2,25 olur ve b = 1,75 bulunur. Bu sayı doğrunun y eksenini kestiği noktadır. Dikey doğrularda ise böyle bir nokta yoktur, çünkü doğru y eksenine paraleldir.
Doğru denklemi neden üç biçimde yazılıyor?
Her biçim farklı bir işi kolaylaştırır. Eğim-kesişim biçimi olan y = mx + b grafik çizmek için en pratiğidir, çünkü hem eğim hem başlangıç noktası doğrudan okunur. Nokta-eğim biçimi elinizde bir nokta ve eğim varken işe yarar. Standart biçim olan Ax + By = C ise tam sayı katsayılarla çalışır ve diğer ikisinin yazamadığı dikey doğruları da ifade edebilir. Bu araç üçünü birden verir; hangisini kullanacağınıza sorunun size ne verdiğine ve sizden ne istediğine bakarak karar verebilirsiniz.
Son Hesaplamalar
Henüz hesaplama yapılmadı