Calculadora de Pendiente

¿Cómo Funciona la Fórmula?

La pendiente es el número que responde a una sola pregunta sobre una recta: cuánto sube por cada paso que damos hacia el lado. Escriba los dos puntos como (x₁, y₁) y (x₂, y₂), ponga la variación vertical arriba y la horizontal abajo, y la fracción resultante es la pendiente, que casi siempre se designa con la letra m. En clase se resume como desnivel entre avance, y conviene retener esa frase porque le dice qué medir antes de decirle qué dividir. Esta calculadora acepta dos puntos o bien un punto junto a una pendiente ya conocida, y devuelve la pendiente, el ángulo de inclinación, el porcentaje, los cortes con ambos ejes, la distancia en línea recta entre los puntos y la misma recta escrita de tres maneras.

El signo indica la dirección, el tamaño la inclinación

Un solo número guarda dos informaciones distintas. El signo marca hacia dónde va la recta: positiva significa que sube de izquierda a derecha, negativa que baja, y cero describe una horizontal que no gana altura en ningún momento. El tamaño marca lo empinada que es, y merece la pena memorizar algunas referencias. Una pendiente de 1 sube una unidad por cada unidad de avance, lo que da exactamente 45 grados. Una pendiente de 0,5 es la mitad de inclinada y ronda los 26,57 grados. Una pendiente de 5 ya resulta muy empinada, cerca de 78,69 grados. Observe cómo el ángulo se frena cuando la pendiente crece: pasar de 5 a 50 solo lleva el ángulo de 78,69 a unos 88,85 grados, porque a la recta le queda muy poco margen antes de la vertical.

El porcentaje de las señales de carretera

Fuera del aula la misma idea circula con otros nombres. Las señales de pendiente en carretera indican un porcentaje, que no es más que la pendiente multiplicada por 100. Una vía que asciende 6 metros cada 100 metros horizontales tiene una pendiente de 0,06 y se señaliza como 6 por ciento. En cubiertas la inclinación suele expresarse como la relación entre lo que sube y un avance fijo: un tejado de 4 en 12 tiene una pendiente de 4 entre 12, alrededor de 0,333, y un ángulo próximo a 18,43 grados. Las rampas se describen a menudo como 1 en 12, es decir una pendiente cercana a 0,083 y unos 4,76 grados. El malentendido habitual consiste en pensar que el 100 por ciento es una pared: en realidad es una pendiente de 1 y 45 grados, y una pared vertical no tiene porcentaje porque su pendiente es indefinida.

La recta vertical y la división entre cero

Todos los casos se portan bien salvo uno. Tome los puntos (3, 1) y (3, 7). El desnivel es 6 y el avance es 0, de modo que la fórmula pide dividir 6 entre 0, y esa operación no tiene resultado. Por eso la calculadora escribe indefinida en vez de devolver en silencio una cifra descomunal. La recta no tiene ningún defecto: su ecuación es x = 3 y su ángulo mide 90 grados. Lo que le falta es la ordenada en el origen, porque una recta paralela al eje y nunca lo corta. Si la recta resulta ser el propio eje y, la situación se invierte y todos sus puntos sirven como corte. Esta herramienta distingue ambos casos en lugar de mezclarlos, y hace lo mismo con las horizontales y el eje x.

El error de signo más frecuente

En los exámenes la mayoría de los fallos con pendientes no vienen de la división sino del signo. La regla es sencilla: el punto que elija como primero debe ir primero arriba y también abajo. Si escribe y₂ menos y₁ en el numerador pero x₁ menos x₂ en el denominador, obtendrá el valor correcto con el signo cambiado. Las coordenadas negativas lo complican todavía más: con el punto (1, −2), el numerador 8 menos −2 vale 10, no 6. La comprobación más rápida es mirar el dibujo mental. Si el segundo punto está por encima del primero, la pendiente tiene que salir positiva; si en la pantalla aparece negativa, el orden se ha traspapelado en algún sitio.

Tres maneras de escribir la misma recta

La forma explícita, y = mx + b, es la más memorizada y la más cómoda para dibujar, porque basta con marcar b en el eje y y contar la pendiente desde ahí. En muchos textos españoles esa constante aparece como n, aunque el número es el mismo. La forma punto-pendiente, y − y₁ = m(x − x₁), es la adecuada cuando el enunciado le da un punto y una inclinación en lugar del corte. La forma general trabaja con coeficientes enteros y es la única de las tres capaz de expresar una recta vertical. Conviene recordar que aquí se muestra igualada a C, como 2x − y = 4, mientras que la costumbre escolar española la iguala a cero: 2x − y − 4 = 0. Son la misma ecuación con el término independiente en distinto lado.

Antes de confiar en cualquier calculadora, resuelva un ejemplo a mano: la cuenta es lo bastante corta para verificarla y el hábito detecta los errores de signo desde el primer paso.

Introduzca sus puntos arriba y obtendrá la descripción completa de la recta, desde la razón inicial hasta sus tres escrituras habituales.